Elementos básicos del álgebra lineal

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Las matemáticas en la administración son una disciplina que estudia conceptos de cantidad, espacio, estructura y cambio. Teniendo en cuenta esto, se utilizan términos tales como la lógica y las funciones matemáticas, que son las que relacionan cada uno de sus elementos con un resultado o elemento de salida.

Espacio vectorial del IRN

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío de V elementos llamados vectores, donde se puede definir una suma interior y un producto por escalares. El producto de un escalar por un vector también es un elemento del espacio vectorial. En ocasiones es necesario recoger el comportamiento de ciertas variables, como precios de bienes y renta del consumidor, parámetros de un modelo lineal. Se trata pues, de manejar n-tuplas de datos que son elementos del conjunto IRn.

Para representar gráficamente los conjuntos de R, se tiene que saber que los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante curvas cerradas. Son conocidas con el nombre de Diagramas de Venn. Para poder interpretarlos correctamente, hay que observar lo siguiente:

• Elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva.
• Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva.
• Ningún punto se representa sobre la curva.
• El conjunto referencial R se representan por un rectángulo para diferenciarlos de los otros diagramas.

Conceptos básicos

A continuación se definen las características de una función:

• Dominio y recorrido: dada una función f: R→ R, tal que y= f(x). El dominio de la función es el conjunto D C R de los valores para los que está definida la función. Se representa por Dom f. Por otra parte, el recorrido de la función es el conjunto de valores que toma la función. Se representa por Im f.
• Continuidad: de forma intuitiva, una función continua en todo su dominio sería aquella que se puede dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo, la mayoría de las funciones van a presentar discontinuidades. Es decir, van a ser continuas solo en algunos intervalos de su dominio y en los límites de estos presentarán discontinuidades. Una función que no es continua presenta alguna discontinuidad.
• Monotonía: crecimiento y decrecimiento, extremos relativos.
• Curvatura: concavidad, convexidad y punto de inflexión. Se afirma que una función es cóncava o que presenta su concavidad hacia abajo, cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Análogamente, se dirá que es convexa o que presenta su concavidad hacia arriba, si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva. Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman puntos de inflexión.
• Simetría: una función presenta simetría par si para valores de x positivos o negativos, pero de igual valor absoluto, la función toma el mismo valor. Es decir, se verifica que f(x) = f(-x). Por el contrario, una función presenta simetría impar si para valores de x positivos o negativos, pero de igual valor absoluto, la función toma valores de signo distinto. En otras palabras, se verifica que f(-x) = -f (x).
• Periodicidad: se considera que una función es periódica cuando la gráfica de la misma se repite de manera idéntica cada vez que la variable independiente x recorre cierto intervalo. La longitud de este intervalo recibe el nombre de periodo.
• Tendencias, asíntotas: en el estudio de funciones se denomina asíntota a una línea hacia la que se aproxima infinitamente la gráfica de la función, pero sin llegar a encontrarse ambas durante dicha aproximación infinita.

Clases de funciones

La función inversa de una función f, es otra función f1, tal que para cualquier valor x de su dominio se cumple que: si f(x) = b, entonces f-1 (b) = x. Por tanto, si f1 es la función inversa de f, se cumple que f1 o f = f o f1 = Id. A Id se nombra función identidad, y se define como Id(x) = x. Es importante conocer que las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto a la recta y= x. Dentro de las funciones elementales se encuentran los siguientes tipos de funciones:

• Lineales: cuya ecuación general es y= mx, en la que m=pendiente de la recta. Su representación gráfica es recta y la función pasa siempre por el origen de coordinadas (0,0).
• Afines: cuya ecuación general es y=mx + n, en la que m=pendiente de la recta. Su representación gráfica es una recta y la función pasa siempre por el punto (0,n).
• Cuadráticas: cuya ecuación general es y= ax2 +bx+c, en la que a siempre es distinto valor de 0, dado que sino no sería una función lineal. Su representación gráfica es una parábola. El parámetro c indica el punto de corte de la parábola con el eje de ordenadas (0,c).
• Proporcionalidad inversa: cuya ecuación general es y= k/x, en la que k es un número real y siempre distinto de cero. Su representación gráfica es una hipérbola.
• Exponenciales: cuya ecuación general es y=ax. En caso de que a<1, son continuas y crecientes en todo el dominio, y no tiene ni máximos ni mínimos. Sin embargo, en caso de que 0<a<1, son continuas y decrecientes en todo el dominio. No tiene ni máximos ni mínimos.
• Logarítmicas: cuya ecuación general es y=logax. En caso de que a>1 son continuas y crecientes en todo su dominio, sin máximos ni mínimos. Por otra parte, en caso de que 0<a<1 son continuas y decrecientes en todo su dominio, sin máximos ni mínimos.
• Con radicales: cuya ecuación general es y=n»√xm. En este caso, se tiene que cumplir que m,n sean números naturales y que n sea superior o igual a 2. Las características de estas funciones van a depender de la paridad de los valores de m y n.
• Valor absolutos: cuya ecuación general es y=ӀxӀ. El punto de cortes con los ejes es el (0,0), es continua y positiva en todo su dominio. Presenta simetría par: f(x)=f(-x).
• Trigonométricas: son aquellas que asocian cada valor de x, en radianes, alguna de sus razones trigonométricas. Las principales son; sen x, cos x y tg x.

Teoría de Weirtrass

Según el Teorema de Weierstrass, si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(X) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]. Por hipótesis, f es continua en [a,b] => por el lema de Weierstrass f está acotada en [a,b], es decir, existen m y n tales que m <= f(x) <=n para todo x perteneciente a [a,b]. La demostración se realiza por reducción al absurdo. Primero se demostrara que f tiene máximo absoluto en [a,b].

Si se quiere probar que existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1) = n. Supóngase lo contrario de lo que se quiere demostrar, o sea que para todo x perteneciente a [a,b] f(x) ≠ n, f(x) < n. Sea g una función auxiliar: g(x)=1/(n – f(x)). Siguiendo este planteamiento, g es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y n – f(x) ≠ 0. Por el lema de Weierstrass, g está acotada, es decir, para todo x perteneciente a [a,b].

Matemáticas empresariales

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