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Se han estudiado los resultados de un experimento aleatorio por independiente, cuando se observaron las variables aleatorias como una función que asigna un número real a cada posible resultado de un experimento, también se vio cómo en un experimento hay, normalmente, más de una variable aleatoria y se estudió la posible relación entre ellas mediante los vectores aleatorios. En este artículo se estudiará el resultado de un experimento como una sola función que toma valores aleatorios: los procesos aleatorios.
Es importante estudiar los procesos aleatorios porque en casi todos los aspectos de la vida están presentes, donde el comportamiento de un fenómeno o evento no puede ser predicho, por ende, únicamente se puede estudiar acerca de los posibles efectos que tendrá el fenómeno o evento. A lo largo de la historia, los procesos aleatorios (o también denominados estocásticos) se han empleado en la resolución de muchos problemas prácticos e incluso en la descripción de problemas empíricos, la teoría de los procesos aleatorios comienza a desarrollarse rápidamente a partir del año 1936.
El primer proceso estocástico se originó durante el estudio de la distribución de Bernoulli. En el año 1827, Robert Brown botánico de origen inglés, hizo una observación relevante relacionada con los procesos estocásticos, observó que las pequeñas partículas suspendidas en un fluido siguen movimientos aleatorios. El fenómeno observado por Robert Brown se pone de manifiesto en los gases y se denomina “movimiento browniano” y es debido a que el movimiento de las moléculas microscópicas están sometidas a choques estocásticos independientes. En 1905 el movimiento browniano comenzó a tratarse de una manera estadística, deduciendo el movimiento browniano a partir del proceso de paseos aleatorios, también es extendido al plano y al espacio, además, relacionado con otros procesos físicos.
Definición y descripción de procesos aleatorios
Un proceso aleatorio no es más que una función que se le asigna a cada posible resultado de un experimento aleatorio. Es decir, los procesos aleatorios son funciones que toman valores aleatorios, estas funciones están definidas entre dos espacios, el espacio conjunto de índices y el espacio de estados. Los espacios entre los cuales están los procesos aleatorios se denominan así: Espacio conjunto de índices: “espacio T”; Espacio de estados: “espacio S” .
Un proceso aleatorio se denota, generalmente, por la siguiente expresión: {X(t)}. En esta notación no se incluye la variable w a modo de simplificar; pero eso no quiere decir que no esté presente, esta variable está implícita, ya que representa la dependencia del azar. A un proceso aleatorio se le denomina también proceso estocástico. Puede ser visto también como una variable que cambia su valor aleatoriamente con el transcurso del tiempo.
Una variable aleatoria es función de los posibles resultados de un experimento. Un proceso aleatorio puede definirse también como una variable aleatoria que es función de los posibles resultados del experimento y también es función del tiempo. Varios ejemplos de fenómenos aleatorios variables en el tiempo son la temperatura máxima o la temperatura mínima en una localización; la vibración de una edificación como consecuencia de un temblor, una ola, el flujo de corriente en un circuito, el campo magnético en un punto determinado, entre otros. Como hasta ahora, se conoce que tanto las variables como los vectores pueden ser discretos o continuos. Los procesos aleatorios también se clasifican de acuerdo a este criterio.
Procesos discretos en tiempo discreto
Se denotan también como “DTDV” (Discret Time/ Discret Values).
- El espacio conjunto de índices “T” es equivalente al espacio de estados “S” y equivalente también al espacio Z (caso discreto).
- Las realizaciones de estos procesos son sucesiones de números enteros.
- Ejemplos de procesos discretos en tiempo discreto son: el número de ventas diarias de un producto en una tienda o el número de unidades producidas mensualmente de un producto en específico.
A los procesos discretos en tiempo discreto se les suele llamar también como “cadenas”. Una cadena es un proceso estocástico en el cual el tiempo se mueve en forma discreta y la variable aleatoria solo toma valores discretos en el espacio de estados.
- Las realizaciones de estos procesos son funciones escalonadas que toman valores enteros.
- Ejemplos de procesos discretos en tiempo continuo. El número de accesos a un servidor de red en un período de tiempo, las unidades producidas en una fábrica hasta el instante de tiempo t.
A los procesos discretos en tiempo continuo se les suele llamar también como “procesos de saltos puros”. Un proceso de saltos puros es un proceso estocástico en el cual los cambios de estados ocurren en manera aislada y aleatoria; pero la variable aleatoria únicamente toma valores discretos en el espacio de estados. Como otro ejemplo de proceso de estado discreto en tiempo continuo se puede mencionar la señal telegráfica. Esta señal solamente tiene dos estados posibles; por ejemplo, 1 y -1, el cambio de estado puede ocurrir en cualquier instante de tiempo, es decir, el instante del cambio de estado es aleatorio.
Procesos continuos en tiempo discreto
- Se denotan también como “DTCV” (Discret Time/ Continuous Values).
- El espacio conjunto de índices “T” es equivalente al espacio Z (caso discreto).
- El espacio de estados “S” es equivalente al espacio R (caso continuo).
- Las realizaciones de estos procesos son sucesiones de números reales.
- Un ejemplo de proceso continuo en tiempo discreto es la facturación anual de una empresa.
Procesos continuos en tiempo continuo
- Se denotan también como “CTCV” (Continuous Time/ Continuous Values).
- El espacio conjunto de índices “T” es equivalente al espacio de estados “S” y equivalente también al espacio R (caso continuo).
- Las realizaciones de estos procesos son funciones reales de variable real.
- Un ejemplo de proceso continuo en tiempo continuo es la intensidad de campo magnético en cada instante en un determinado punto del espacio.
Como otro ejemplo de un proceso continuo en tiempo continuo, se puede nombrar también la señal de voz vista en la pantalla de un osciloscopio. Esta señal acústica es transformada en una señal eléctrica analógica que puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo de estados. De la definición de que un proceso aleatorio es una variable aleatoria que depende el tiempo. Se deduce que, si el tiempo es fijado en un determinado valor, el resultado es una variable aleatoria.
Esta variable aleatoria obtenida del proceso aleatorio fijando el tiempo en un valor determinado, tiene sus características estadísticas: media, varianza, etc. Ahora, si se obtienen “n” variables aleatorias de un proceso para “n” instantes de tiempo, y todas estas variables obtenidas tienen las mismas características estadísticas, entonces, se está en presencia de un proceso aleatorio estacionario.
Resumiendo, un proceso aleatorio es estacionario si sus propiedades estadísticas no varían en el tiempo. Además de las clasificaciones descritas anteriormente, los procesos aleatorios se clasifican en deterministas y no deterministas. Esto de acuerdo a la forma de sus funciones de muestra. Si los futuros valores de cualquier función muestra no pueden predecirse de manera exacta mediante la observación de los valores anteriores, el proceso aleatorio se clasifica no determinista.
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