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En este artículo se introducen las definiciones clásica y axiomática de la teoría de la probabilidad condicional. Con la primera de ellas será posible resolver problemas típicos de los juegos de azar mientras que la segunda, más teórica, abre el campo de estudio a otros problemas de estadística más complejos. El objetivo es ser capaz de combinar ambos conceptos, junto con sus propiedades, al cálculo de la probabilidad de que ocurra cualquier suceso. Por último, se introduce el efecto de la información en el cálculo de las probabilidades a través de la probabilidad condicionada.
Un experimento aleatorio es cualquier acción que pueda dar lugar a resultados (sucesos) identificables de forma tal que, aunque todos los posibles resultados son conocidos a priori, no se sabe cuál de todos ellos aparecerá. Por ejemplo, si se lanza un dado se sabe que hay 6 posibles resultados (las seis caras numeradas del dado), pero no hay forma de saber cuál va a salir hasta no realizar el experimento.
En su acepción más simple, la teoría de la probabilidad es la rama de las matemáticas que se ocupa de calcular la probabilidad de que ocurra cierto suceso o evento. Es decir, pretende cuantificar cómo de posible es que ocurra un suceso antes de realizar el experimento aleatorio. El conjunto de todos los posibles resultados, simples o elementales, de un experimento, es su espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6, el espacio muestral, E, está formado por cada uno de los sucesos elementales E = {S1, S2,…, S6}, siendo Sk el suceso “ha salido la cara k del dado”.
Probabilidad en estadística
También se pueden considerar sucesos compuestos, por ejemplo, el suceso S = {obtener una cara par} está formado por varios sucesos elementales, es decir, el suceso S ocurre cuando ocurre S2 o S4 o S6. Para cualquier experimento existen dos sucesos especiales:
- Suceso imposible: por ejemplo, al lanzar un dado numerado, el suceso S = {ha salido la cara número 7}, es imposible que suceda, pues el dado solo tiene 6 caras.
- Suceso seguro: por ejemplo, al lanzar un dado numerado, el suceso S = {el número que ha salido es menor que 10}, ocurre seguro, pues las caras están numeradas del 1 al 6.
Como se puede comprobar, los sucesos imposible y seguro no son únicos. Para cada experimento es posible imaginar infinitos de ellos. Cuando dos sucesos A y B no tienen ningún elemento en común, se dice que son disjuntos o incompatibles. Por ejemplo, al lanzar un dado, los sucesos A = {el número es menor 3} y B = {el número es múltiplo de 3} son dos sucesos incompatibles.
La definición clásica de probabilidad en la regla de Laplace dicta que Dado un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra un suceso es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles (sucesos elementales del espacio muestral), siempre que todos sean igualmente posibles. En la definición anterior hay un punto de especial importancia: se están contando casos igualmente posibles.
Es decir, el número de casos posibles es el número de sucesos elementales del espacio muestral y los casos favorables, son la colección de sucesos elementales que cumplen la condición propuesta. Por tanto, el numerador siempre está formado por sucesos elegidos de entre los del denominador.
Probabilidad axiomática
La definición clásica de probabilidad permite resolver muchos problemas asociados a los juegos de azar (cartas, dados, ruleta, etc.), sin embargo, tiene muchas limitaciones. Hay que suponer que se tienen los siguientes experimentos, que ponen de manifiesto la necesidad de definir “otras probabilidades”:
- Experimento 1: si se deja caer el móvil desde una altura de 40 cm, ¿cuál es la probabilidad de que se rompa la cámara?. En este caso, no se conoce el número de casos posibles. No se sabe de cuántas formas se puede romper una cámara, por lo que no es posible aplicar la regla de Laplace.
- Experimento 2: una persona quiere calcular de forma teórica cómo serían las probabilidades si pudiera construir un dado no perfecto, de forma que las caras impares tiendan a salir más veces que las pares. Aunque sigue habiendo 6 casos posibles (las 6 caras del dado), no son igualmente probables, por tanto, la regla de Laplace no es aplicable a este experimento.
Algunas aclaraciones sobre estos experimentos, basados en las probabilidades, se exponen a continuación:
- Probabilidad frecuentista: probabilidad basada en la experiencia. Se debe realizar el experimento muchas veces y contar cuántas veces aparece el suceso bajo estudio. En el experimento 1 se tendría que utilizar gran cantidad de móviles y comprobar cuántas veces se rompe la cámara. Si, por ejemplo, esto ocurre un 15 % de las veces, se asigna esa probabilidad al suceso.
- Probabilidad axiomática: probabilidad teórica. Se asigna una probabilidad teórica a cada suceso elemental, siempre que cumpla ciertas propiedades coherentes con el cálculo de probabilidades.
Probabilidad condicionada
Si se lanza un dado perfecto (con probabilidad 1/6 para cada una de las caras), la probabilidad de que salga una cara con número par, se sabe que es 0,5. Sin embargo, si dicen que el número que ha salido es mayor que tres, ¿cuál es ahora la probabilidad de que haya salido una cara con número par?. Este ejemplo introduce al lector en el mundo de la probabilidad condicionada, que estudia cómo cambia la probabilidad de un suceso cuando se tiene en cuenta información sobre el experimento. Si se recuerdan las operaciones básicas con sucesos, sería posible establecer la siguiente regla:
- La unión de sucesos se asocia a la letra “o” y a la suma. Si A y B son disjuntos: P (suceda A o suceda B) = P (A∪B)= P (A) + P (B).
- La intersección de sucesos se asocia a la letra “y” y al producto. Si A y B son independientes: P (suceda A y suceda B) = P (∩ B)= P (A) × P (B)
Teorema de Bayes
La diferencia entre estas dos preguntas está en dónde se sitúa la pregunta en la línea temporal en la que se realiza el experimento. En la siguiente figura (figura 13) se muestra un esquema del experimento:
- Pregunta 1: la pregunta se recorre en el sentido temporal de “pasado a futuro”. Primero se elige a una persona y luego se le pregunta si es hombre o mujer.
- Pregunta 2: la pregunta se recorre en el sentido temporal de “futuro a pasado”. Primero se elige a una persona, luego se indaga si es hombre o mujer. Posteriormente se cambia el sentido temporal y se pregunta si es joven o mayor.
El teorema de la probabilidad total responde a la pregunta 1, de forma que permite calcular la probabilidad de un suceso (es mujer) que depende de lo que ha ocurrido anteriormente (es joven o es mayor). El teorema de Bayes responde a la pregunta 2, de forma que permite calcular la probabilidad de un suceso (es joven), utilizando información de lo que ha ocurrido en el futuro (es hombre o es mujer).
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