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Dentro de las matemáticas para la física de campos uno de los factores más importantes es el electromagnetismo. Este estudia los fenómenos eléctricos y magnéticos, y constituye una rama de la física y la ingeniería eléctrica. En esta materia se analizan, describen, interpretan y unifican los campos eléctrico y magnético como una sola teoría. El electromagnetismo constituye una teoría de campos y estudia la interacción de partículas cargadas mediante los mencionados campos, a esta interacción se le denomina interacción electromagnética y está presente en fenómenos como la luz.
El estudio de electromagnetismo es significativo, ya que está presente en muchas aristas de las telecomunicaciones, por ejemplo, en antenas, microondas, sistemas de radares, fibra óptica, entre otras. Además, muchísimos dispositivos tienen, como principio básico de funcionamiento el electromagnetismo, ejemplo de ellos son los teléfonos, radios, televisores, motores eléctricos, transformadores, guías de ondas, antenas, líneas de transmisión y su diseño o análisis requiere un conocimiento profundo de los principios y leyes del electromagnetismo.
Vectores y sistemas de coordenadas ortogonales
El dominio de las operaciones con vectores es significativo en el estudio del electromagnetismo, ya que diversas cantidades son vectores. Un ejemplo de ello son las intensidades de campo eléctrico y magnético. Por otro lado, la carga, la corriente y la energía son magnitudes escalares. En la Figura 1 se muestra la representación vectorial de los campos eléctrica E y magnético B.
Antes de enfatizar en las operaciones con vectores es importante saber diferenciar las magnitudes escalares y vectoriales. La determinación de una magnitud escalar solo precisa el conocimiento de un número y su unidad de medida, por ejemplo, son magnitudes escalares las siguientes: el tiempo, la energía, la masa, la longitud, entre otras. Por otro lado, para la determinación de una magnitud vectorial se necesita conocer la magnitud escalar, su dirección y sentido. La cantidad de movimiento, la fuerza, la velocidad, la aceleración. Matthew Sadiku, expone que:
«Un escalar es una cantidad que solo posee magnitud. Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como dirección.»
Los vectores pueden ser tanto función del tiempo y como función de la posición, es por ello que para realizar la representación de un vector en una posición y en un instante determinado se precisa una dirección y una magnitud. La especificación de la dirección de un vector depende del sistema de coordenada. En cuanto a la representación de vectores y escalares es importante señalar que los vectores se pueden representar de dos maneras.
Los sistemas de coordenadas ortogonales más habituales son las coordenadas cartesianas, las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas. En el electromagnetismo, las leyes no dependen de los sistemas de coordenadas. Si se tiene una situación de análisis de electromagnetismo donde existe una geometría específica, se selecciona un sistema de coordenadas acorde a dicha geometría.
Sistemas de coordenadas ortogonales
Las cantidades físicas en el electromagnetismo son funciones de espacio y de tiempo que se representan definiendo apropiadamente todos los puntos en el espacio mediante la elección adecuada de un sistema de coordenadas. En el electromagnetismo, las leyes son independientes de los sistemas de coordenadas, pero para aplicar las leyes de electromagnetismo, los sistemas de coordenadas son elegidos según el problema práctico y su geometría.
Los sistemas de coordenadas más importantes son los sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. Al respecto se afirma que “en un sistema ortogonal sus coordenadas son mutuamente perpendiculares.”. Hasta ahora se ha trabajado con las coordenadas rectangulares o cartesianas. Se ha visto que la representación del vector A en coordenadas rectangulares puede ser (Ax,Ay,Az) ó Ax ax + Ay ay + Az az, donde ax, ay, y az son vectores unitarios. Las coordenadas esféricas son las adecuadas para trabajar con problemas que involucran geometrías esféricas.
Gradiente de un campo escalar
La razón del cambio espacial de un campo escalar en un instante específico se describe mediante el método que se verá a continuación en el cual se involucran derivadas parciales y vectores. Si es considerada una función escalar de coordenadas espaciales V (u1, u2, u3): «La magnitud de V depende en general de la posición del punto en el espacio, pero puede ser constante sobre ciertas líneas o superficies
«El gradiente de un campo escalar V es un vector que figura la magnitud y dirección de la rapidez de incremento espacial de V cuando este alcanza su valor máximo»
Rotacional de un campo vectorial y teorema de Stokes
Respecto al rotacional de un campo vectorial, Sadiku refiere que: El rotacional de A es un vector axial (o rotacional) cuya magnitud es la circulación máxima de A por unidad de área conforme el área tiende a cero y cuya dirección es la dirección normal del área cuando el área se orienta de tal forma que de ello resulta la circulación máxima.
Clasificación de campos: teorema de Helmtolt
Los campos vectoriales se caracterizan por su divergencia y su rotacional, pero es importante tener claro que un campo vectorial no se caracteriza solamente por su divergencia, ni se clasifica solamente por su rotacional, se debe tener en cuenta ambos criterios y la clasificación se basa en la tendencia a cero o no de estos criterios. Clasificaciones de un campo A:
- Si · A =0 y X A =0 : solenoidal e irrotacional.
- Si · A =0 y X A ≠0 : solenoidal y no irrotacional.
- A ≠0 y X A =0 : no solenoidal e irrotacional.
- Si · A ≠0 y X A ≠0 : no solenoidal y no irrotacional.
El teorema de Helmtoltz plantea que un campo vectorial está determinado si su divergencia y su rotacional están especificados en todos los puntos.
El electromagnetismo aplicado
El electromagnetismo estudia los fenómenos eléctricos y magnéticos, y constituye una rama de la física y la ingeniería eléctrica. Este constituye una teoría de campos y estudia la interacción de partículas cargadas mediante los mencionados campos, a esta interacción se le denomina interacción electromagnética. En el electromagnetismo varias cantidades constituyen vectores, por ejemplo, las intensidades de campo eléctrico y magnético, mientras que la carga, la corriente y la energía son magnitudes escalares. Un escalar es una cantidad que solo posee magnitud.
Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como dirección. Los sistemas de coordenadas ortogonales más habituales son las coordenadas cartesianas, las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas. En el electromagnetismo, las leyes son independientes de los sistemas de coordenadas, es decir, la ley es la misma independientemente de la geometría que se esté analizando.
Regla del paralelogramo: el vector resultante C = A + B es el vector diagonal del paralelogramo formado por A y B dibujados con el mismo punto de origen. Regla cabeza-cola: conectar la cabeza de A con la cola de B, entonces su suma C = A + B es el vector que se traza desde la cola de A hasta la cabeza de B. De esta forma, resulta que los vectores A, B y C forman un triángulo.
El producto punto es el producto de las magnitudes de los vectores A y B y el coseno del ángulo que ellos forman (cosθ). El producto cruz es una cantidad vectorial y su magnitud es el área del paralelogramo que forman los vectores A y B. Un sistema ortogonal, es aquel cuyas coordenadas son mutuamente perpendiculares.
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