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En la historia se han estudiado los procesos aleatorios en el dominio temporal, mediante las características estadísticas, autocorrelación, correlación cruzada, covarianza, entre otras, pero no se han tenido en cuenta las características espectrales y es lo que se pretende en este texto. Es decir, el objetivo principal de este tema es analizar los procesos aleatorios en el dominio frecuencial.
Recordar que un proceso aleatorio es una función que se le asigna a cada posible resultado de un experimento aleatorio. Refiere a funciones que toman valores aleatorios, estas funciones están definidas entre dos espacios, el espacio conjunto de índices y el espacio de estados. A un proceso aleatorio se le denomina también proceso estocástico y puede ser visto también como una variable que cambia su valor aleatoriamente con el transcurso del tiempo.
Una variable aleatoria es función de los posibles resultados de un experimento, entonces un proceso aleatorio puede definirse también como una variable aleatoria que es función de los posibles resultados del experimento, además, es función del tiempo. Durante el análisis de los procesos aleatorios en el dominio frecuencial tiene gran relevancia la transformada de Fourier, por lo que se recomienda el estudio de las transformadas de Fourier para un mejor entendimiento del artículo.
Espectro de densidad de potencia
La transformada de Fourier de una señal determinista incluye las propiedades espectrales de dicha señal. Las notaciones de la señal y su respectiva transformada son: Señal: x(t) Transformada de Fourier: X(ω) La transformada de Fourier viene dada por las siguientes expresiones: XT (ω)=∫-T xT (t) e-jωt dt; XT (ω)=x(t) e-jωt dt En el intervalo de (-T, T) la energía contenida en la señal x(t) se denota como E(T) y su expresión es: E(T)=∫-T x2 T (t)dt; E(T)=∫-T x2 (t)dt.
Este término es un espectro de densidad de potencia, pero no es el adecuado para el proceso aleatorio, porque no representa la potencia de una función muestra completa. Por otro lado, la potencia media de la señal es solamente la potencia de una función muestra, por tanto, no representa a un proceso. Para obtener un espectro de densidad de potencia adecuado para un proceso aleatorio se debe calcular el límite cuando T tiende a infinito y tomar el valor esperado de la expresión.
Las propiedades del espectro de densidad de potencia son:
- Primera propiedad: IXX (ω)≥0
- Segunda propiedad: IXX (-ω)=IXX (ω)
- Tercera propiedad: IXX (ω) es real
- Cuarta propiedad: ∫-∞ IXX (ω) dω=A{E[X2 (t)]}
- Quinta propiedad: IXX(ω)=ω2 IXX(ω) La quinta propiedad indica que el espectro de densidad de potencia de la derivada X (t)= es ω2 veces mayor que el espectro de potencia de X(t).
- Sexta propiedad: ∫-∞ IXX (ω) ejωτ dω=A[RXX (t,t+τ)]
Relaciones entre el espectro de potencia y la autocorrelación
En la expresión (7.18) se expresó que la transformada inversa de Fourier del espectro de densidad de potencia es el promedio temporal de la función de autocorrelación, recordar: ∫-∞ IXX (ω) ejωτ dω=A[RXX (t,t+τ)] Para el caso en que el proceso X(t) sea estacionario en sentido amplio, se tiene que: A[RXX (t,t+τ)]=RXX (τ) IXX (ω)=∫-∞ RXX (τ)e-jωτ dτ RXX (τ)= ∫-∞ IXX (ω) ejωτ dω Las expresiones y se denominan “Relaciones de Wiener-Khintchine”, este nombre debido al matemático americano Norbert Wiener (1894-1964) y al matemático ruso A.I. Khintchine (1894-1959).
Las relaciones de Wiener-Khintchine conforman el vínculo básico entre la descripción en el dominio del tiempo de los procesos y su descripción en el dominio frecuencial, es decir, relacionan la función de correlación y el espectro de potencia. El conocimiento del espectro de potencia de un proceso permite recuperar por completo la función de autocorrelación cuando X(t) es al menos un proceso estacionario en sentido amplio, a partir de la expresión. En el caso de un proceso no estacionario, solo puede recuperarse el promedio temporal de la función de autocorrelación.
Espectro de densidad de potencia cruzada y sus propiedades
Si se considera un proceso aleatorio real W(t) como la suma de dos procesos aleatorios reales X(t) y Y(t): W(t)=X(t)+Y(t) La función de autocorrelación del proceso aleatorio real W(t) es:
RWW (t,t+τ)=E[W(t)W(t+τ)] =E{[X(t)+Y(t)][X(t+τ)+Y(t+τ)]} =RXX (t,t+τ)+RYY (t,t+τ)+RXY (t,t+τ)+RYX (t,t+τ)
Si se toma el promedio temporal a ambos lados de la expresión y se halla la transformada de Fourier de la expresión resultante se obtiene: IWW (ω)=IXX (ω)+IYY (ω)+F{A[RXY (t,t+τ)]}+F{A[RYX (t,t+τ)]} F{∙} representa la transformada de Fourier IWW (ω); este término representa simplemente el espectro de potencia de W(t) IXX (ω); el término representa el espectro de potencia de X(t) IYY (ω); este término representa el espectro de potencia de Y(t) F{A[RXY (t,t+τ)]} espectro de densidad de potencia cruzada F{A[RYX (t,t+τ)]} espectro de densidad de potencia cruzada.
Estos últimos dos términos que constituyen los espectros de densidad de potencia cruzada se definirán durante el desarrollo de este apartado. Para dos procesos aleatorios reales X(t) y Y(t) se definen las siguientes funciones muestra truncadas: xT (t) función muestra truncada de X(t).
Caracterización del ruido a través de su espectro de densidad de potencia
En algunos problemas de la práctica es apropiado y ventajoso caracterizar el ruido mediante su espectro de densidad de potencia. Tomando como base el espectro de potencia, se pueden definir dos tipos de ruido, el ruido blanco y el ruido coloreado, que se definirán en este apartado. Una función muestra n(t) de un proceso aleatorio de ruido estacionario en sentido amplio N(t) se denomina ruido blanco si el espectro de densidad de potencia de N(t) es una constante a todas las frecuencias. El ruido blanco debe su nombre a la analogía con la luz blanca que contiene todas las frecuencias del espectro visible.
No obstante, hay un tipo de ruido que se aproxima al ruido blanco y es el ruido térmico generado por la agitación térmica de los electrones en un conductor eléctrico. Este ruido térmico, a muy altas frecuencias, tiene un espectro de potencia constante y luego decrece. A una temperatura T=290K, aproximadamente, a la temperatura ambiente la función expresada en permanecer por encima de 0,9 para frecuencias de hasta 10-12 Hz ó 100 GHz. Por ello, Peebles asegura que el ruido térmico tiene un espectro prácticamente plano para todas las frecuencias utilizadas en sistemas de radio, microondas u ondas milimétricas.
Las telecomunicaciones en el mundo moderno
En el mundo actual las telecomunicaciones son utilizadas en diversidad de campos. Esto ha permitido que se establezcan redes para múltiples usos, mejorando así los procesos en muchos ámbitos. La inmediatez, la facilidad y la efectividad son características propias de estos procesos, siendo los mismos los pilares del profesional de ello. Por esto, se hace necesario que la figura a cargo de ello tenga pleno conocimiento y dominio de las herramientas que le permitirá ejecutar sus tareas de manera optimizada.
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