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En diferentes estudios se han abordado los procesos aleatorios y sus clasificaciones. Sin embargo, en este artículo se recordarán las características y clasificaciones de estos procesos y se estudiarán conceptos como la ergodicidad y las características temporales. Un proceso aleatorio es una función que se le asigna a cada posible resultado de un experimento aleatorio. Asimismo, son funciones que toman valores aleatorios, estas funciones están definidas entre dos espacios: el espacio conjunto de índices y el espacio de estados.
Un proceso aleatorio se denota, generalmente, por {X(t)}. En esta notación no se incluye la variable w para simplificarla, pero esta variable está implícita, ya que representa la dependencia del azar. A un proceso aleatorio se le denomina también proceso estocástico. Puede ser visto como una variable que cambia su valor aleatoriamente con el transcurso del tiempo.
Una variable aleatoria es función de los posibles resultados de un experimento. Entonces, un proceso aleatorio puede definirse también como una variable aleatoria que es función de los posibles resultados del experimento y es función del tiempo. Varios ejemplos de fenómenos aleatorios variables en el tiempo son la temperatura máxima o la temperatura mínima en una localización; la vibración de una edificación como consecuencia de un temblor, una ola, el flujo de corriente en un circuito, el campo magnético en un punto determinado, entre otros.
Clasificación de procesos
Como hasta ahora, se conoce que tanto las variables como los vectores pueden ser discretos o continuos. Los procesos aleatorios de acuerdo a este criterio tienen cuatro clasificaciones: procesos discretos en tiempo discreto, procesos discretos en tiempo continuo, procesos continuos en tiempo discreto y procesos continuos en tiempo continuo. Los procesos discretos en tiempo discreto se denotan también como “DTDV” (Discret Time/Discret Values). En estos procesos el espacio conjunto de índices “T” es equivalente al espacio de estados “S” y equivalente, además, al espacio Z (caso discreto).
Las realizaciones de estos procesos son sucesiones de números enteros. Algunos ejemplos de procesos discretos en tiempo discreto son: el número de ventas diarias de un producto en una tienda o el número de unidades producidas mensualmente de un producto en específico. A los procesos discretos en tiempo discreto se les suele llamar también como “cadenas”.
Una cadena es un proceso estocástico, en el cual el tiempo se mueve en forma discreta y la variable aleatoria solo toma valores discretos en el espacio de estados. Los procesos discretos en tiempo continuo se denotan también como “CTDV” (Continuous Time/ Discret Values). En estos procesos el espacio conjunto de índices “T” es equivalente al espacio R (caso continuo) y el espacio de estados “S” es equivalente al espacio Z (caso discreto).
Las realizaciones de estos procesos son funciones escalonadas que toman valores enteros. Algunos ejemplos de procesos discretos en tiempo continuo: el número de accesos a un servidor de red en un período de tiempo, las unidades producidas en una fábrica hasta el instante de tiempo t. Los procesos continuos en tiempo discreto se denotan también como “DTCV” (Discret Time/Continuous Values).
Principales estadísticos
El comportamiento aleatorio de los procesos se describe mediante una distribución. Para los procesos aleatorios discretos, la distribución se describe a través de una función de probabilidad; en el caso de los procesos aleatorios la distribución se describe mediante una función de densidad. En estas funciones, al tratarse de procesos aleatorios, dependen del parámetro tiempo (t). Estas son las denominadas “distribuciones de primer orden”. También, en la descripción del comportamiento aleatorio de los procesos se implican las “distribuciones de segundo orden”, relacionadas con el cálculo de probabilidades conjuntas de un vector.
En este vector una componente es la variable aleatoria para un instante de tiempo t1 y la otra componente es la variable aleatoria para otro instante de tiempo t2, es decir, el vector es: (X(t1), X(t2)). Resumiendo, conocer la distribución de segundo orden es conocer la distribución conjunta del vector (X(t1), X(t2)).
Las distribuciones de primer y segundo orden mencionadas, no son suficientes para hacer una descripción completa del comportamiento aleatorio del proceso. Para describirlo completamente se necesita conocer la distribución conjunta finito-dimensional de la forma (X(t1), …,X(tk)). Las características estadísticas de un proceso X(t) son la media, la varianza, la autocorrelación, la autocovarianza, y el coeficiente de correlación. La media y la varianza son ambas dependientes del tiempo y se calculan sobre las distribuciones de primer orden.
Estacionariedad e independencia
Como se mencionó anteriormente, si se obtienen “n” variables aleatorias de un proceso para “n” instantes de tiempo y todas estas variables obtenidas tienen las mismas características estadísticas, esto es, sus características estadísticas no varían con el tiempo, así que se está en presencia de un proceso aleatorio estacionario. Resumiendo, un proceso aleatorio es estacionario si sus propiedades estadísticas no varían en el tiempo. Otra forma de caracterizar un proceso estacionario es que su comportamiento aleatorio permanece constante en el tiempo.
Los procesos estacionarios pueden ser procesos estacionarios de primer orden, procesos estacionarios de segundo orden o procesos estacionarios de orden k. Un proceso estacionario de primer orden es un proceso cuya distribución de primer orden (distribución de X(t)) es constante en el tiempo o, lo que es lo mismo, no depende del tiempo. En los procesos estacionarios de primer orden, dado que la distribución de X(t) no depende de “t”, el momento mX (t) es también independiente del tiempo y equivale a la siguiente expresión: mX (t)=μ.
Un proceso estacionario de segundo orden se define de manera análoga al de primer orden, es aquel proceso cuya distribución de segundo orden (distribución del vector (X(t1), X(t2)) no depende de los instantes de tiempo t1 y t2. Otra forma en que comúnmente se expresa esta estacionariedad, es decir, que la distribución de segundo orden es invariante en el tiempo. Es importante recalcar que, en un proceso estacionario de segundo orden, la distribución de segundo orden no depende de los instantes t1 y t2, no obstante, si de la distancia existente entre estos dos instantes.
Promediados temporales
El promedio temporal de una magnitud se denota como “A” (mayúscula cursiva) y se calcula para todos los instantes de tiempo. Esto puesto que en los procesos aleatorios se supone las funciones muestra de los procesos existen en todo instante de tiempo. Los promedios de interés son el valor medio de una función muestra y la función temporal de autocorrelación. Para una función muestra del proceso X(t) tanto el valor medio de la función muestra como la función temporal de autocorrelación. Todo ello para un valor fijo de τ generan dos números. Sin embargo, si es el caso en que se consideran todas las funciones muestra, los resultados del valor medio y de la función temporal de autocorrelación son variables aleatorias. Esto quiere decir que los promedios temporales son lo mismo que los promedios estadísticos.
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