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Dentro de los fundamentos matemáticos lo primordial es entender que el objetivo de la física es comprender la naturaleza, cómo funciona el universo, y para ello se tiene base en modelos que describen los fenómenos tal como ocurren. Para poder construir esos modelos se utilizan las Matemáticas, es decir, se construyen modelos matemáticos a partir de las observaciones realizadas.
Una magnitud es una propiedad que se puede observar en cualquier cuerpo y que se puede cuantificar (dar un valor numérico) mediante un proceso de medida. Por ejemplo, se puede medir la temperatura de un objeto (un cuerpo puede estar, por ejemplo, a 36 °C). Con independencia de la magnitud que se esté considerando, para medirla (cuantificarla) se usa una cantidad arbitraria que se toma como patrón y que se denomina unidad física. Por ejemplo, para la masa se suele emplear como unidad el gramo (100 gramos o, de forma abreviada, 100 gr) o para la posición el metro (10 metros o, de forma abreviada, 10m)
Es dentro de estas magnitudes donde se pueden distinguir dos tipos: magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Una magnitud escalar es aquella magnitud física que queda completamente determinada con un número real y sus correspondientes unidades. Son ejemplos de magnitudes escalares: volumen, área, densidad, distancia, temperatura, trabajo y masa. Una magnitud vectorial es aquella magnitud física que para quedar completamente definida, necesita de una magnitud, una dirección y un sentido. Las magnitudes vectoriales se pueden representar gráficamente mediante un segmento de recta dirigido, que tiene tres propiedades:
- Módulo El valor numérico absoluto (siempre positivo) acompañado de la unidad
- Dirección Recta sobre la que se encuentra aplicada la magnitud.
- Sentido Uno de los dos posibles que se pueden dar a lo largo de la recta definida por la dirección.
Sistema de referencia
Un sistema de referencia permite fijar la posición de un cuerpo. En una dimensión basta con hacer una recta y marcar en ella el origen de coordenadas. La posición X0 se encuentra en x = 3. El cuerpo se encuentra a X0 del origen de coordenadas. En 2 dimensiones se puede tener, por ejemplo, un cuerpo que describe una parábola, como un balón al que se le ha dado una patada. El balón no se mueve solo en el eje x, sino que describe una curva. En este caso, para especificar su posición, se necesitarán dos ejes de coordenadas.
En un momento dado, la posición tendrá una componente en el eje x (X0) y una componente en el eje y (Y0). Es decir, para especificar la posición se necesitan dos números que indiquen su posición en el eje x y su posición en el eje y. Aquí es donde se comienzan a utilizar los vectores. En la siguiente figura, hay un vector, esto es, un segmento orientado, que en este caso nace en origen de coordenadas y acaba en el punto (X0,Y0). Teniendo este vector, se puede tomar en el eje x un vector de módulo unidad, es decir, que mida 1.
El vector unitario i, que está dirigido hacia la parte positiva del eje x. En el eje y se hace lo mismo. Al vector unitario en el eje y se le llama i . Todo vector se puede representar analíticamente como la suma de otros vectores que sirven de patrón o referencia. Estos vectores reciben el nombre de unitarios, ya que su módulo vale 1. Se tiene el vector unitario i , que está dirigido hacia la parte positiva del eje x y el vector unitario j , que está dirigido hacia la parte positiva del eje y.
Módulo de un vector
En un vector, además de sus componentes, también puede interesar conocer su módulo, es decir, lo que mide. Es decir, se ha aplicado el Teorema de Pitágoras, pues lo que mide el vector es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y sus componentes son los catetos. Para expresar un vector en 3 dimensiones hay que especificar las coordenadas en el eje x, en el eje y y en el eje z.
El módulo de un vector en 3 dimensiones se calcula igual que en dos dimensiones, solo que con una componente más en la raíz. A modo de resumen, están los sistemas de referencia utilizados en 1, 2 y 3 dimensiones. En una dimensión, se tiene el eje x con el origen y el vector unitario i. En dos dimensiones, se tienen los ejes x e y con el origen de coordenadas y los vectores unitarios i y j. En 3 dimensiones, se tienen los ejes x, y y z, con el origen de coordenadas y los vectores unitarios i , j y k.
Vector negativo o vector opuesto del vector V
El vector negativo de un vector v es otro vector que tiene la misma magnitud (módulo) y dirección, pero sentido contrario. El vector negativo de un vector v se denota por – v.
Vector cero o vector nulo
Un vector cero, o vector nulo, es aquel cuya magnitud es igual a cero. Se denota por 0. Las propiedades de dirección y sentido son arbitrarias para él, es decir, no se le puede asignar una dirección ni un sentido.
Igualdad de vectores
Dos vectores A y B son iguales sí y solo si se cumple que:
- A es paralelo a B.
- A tiene la misma magnitud, mismo sentido y misma dirección que B.
Suma de vectores
Como los vectores tienen módulo y dirección, su suma no sigue las reglas de la suma tradicional de escalares. De forma gráfica, la suma de dos vectores a y b dará como resultado un vector c que se puede obtener mediante dos métodos distintos:
- El método del polígono o de la cabeza con cola.
- La regla del paralelogramo
Método de la cabeza con cola
Se realiza respetando la dirección y sentido de ambos vectores.
- Se desplaza el vector b de tal forma que su origen se encuentre a continuación del extremo del vector a.
- c será el segmento recto que se puede dibujar desde el origen de a hasta el extremo de b.
Regla del paralelogramo
Se puede aplicar si los vectores no tienen la misma dirección.
- Se sitúan los vectores a y b con los orígenes en el mismo punto.
- Desde el extremo de cada uno se dibuja una paralela al otro vector. Al final se observará un paralelogramo.
- c será el vector que parte desde el origen común de a y b a través de la diagonal del paralelogramo.
Representación analítica
La suma de dos vectores a y b tiene como resultado un vector cuyas componentes son la suma de las respectivas componentes de a y b. El opuesto de un vector es otro vector en el que sus componentes tienen el signo contrario a las de dicho vector.
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