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Las determinantes se utilizan todo el tiempo en el cálculo de las matemáticas empresariales. Son herramientas de álgebra que facilitan el ordenamiento de datos. Por ende, la definición de su concepto, así como su manejo, los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos ingleses.
Concepto de determinantes
Definición
Toda matriz cuadrada tiene asociado un escalar llamado su determinante. Hasta hace poco, los determinantes jugaban un papel destacado en el estudio del álgebra lineal. Los determinantes eran usados para calcular inversas de matrices, para resolver sistemas de ecuaciones lineales, etc. Actualmente, en su lugar se utilizan otras técnicas, a menudo basadas en operaciones elementales sobre las filas de la matriz, las cuales son más eficientes y mejor adaptadas al cálculo computacional.
Los determinantes se definen en términos de permutaciones sobre enteros positivos. La teoría es complicada, pero una vez completada, da lugar a métodos más simples para calcular determinantes. Es importante mencionar que no se desarrollará la teoría, sino que únicamente se estudiaran algunos métodos de cálculo.
Los determinantes se definen solo para matrices cuadradas. Dada una matriz cuadrada A, se usará det(A) o bien |A| para denotar del determinante de A. Si la matriz puede ser escrita explícitamente, se designará su determinante remplazando los paréntesis por líneas verticales. En el caso de las matrices cuadradas de orden 3, esta regla facilita el cálculo de dichos determinantes. Según esta regla, el determinante de A se calcula mediante la resta de dos expresiones obtenidas del siguiente modo, se llamarán sumandos positivos a los obtenidos al multiplicar:
- Los elementos de la diagonal principal, a11 · a22 · a33.
- Los elementos de la línea paralela superior a la diagonal principal por el elemento aislado de la esquina inferior izquierda: a12 · a23 · a31.
- Los elementos de la línea paralela inferior a la diagonal principal por el elemento aislado de la esquina superior derecha: a21 · a32 · a13.
Se llamarán sumandos negativos a los obtenidos al multiplicar:
- Los elementos de la diagonal secundaria, a13 · a22 · a31.
- Los elementos de la línea paralela superior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la esquina inferior derecha: a12 · a21 · a33.
- Los elementos de la línea paralela inferior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la esquina superior izquierda: a32 · a23 · a11.
Matriz cuadrada de orden 2,3 y superior a 3
La matriz cuadrada es la base de muchos otros tipos de matrices como la matriz identidad, la matriz triangular, la matriz inversa y la matriz simétrica. Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir, m=n. En estos casos, se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Por tanto, todos sus componentes en filas y en columnas son las mismas, llegando a tener un orden cuadrado. Los elementos aij con i=j, o sea aii forman la denominada diagonal principal de la matriz cuadrada y los elementos aij con i + j = n + l forman la diagonal secundario o contradiagonal.
Se pueden crear infinitas combinaciones de matrices cuadradas, siempre y cuando se respeta la restricción de que el número de columnas y filas tiene que ser el mismo. Como ya se sabe, una matriz cuadrada el número de filas (n) es igual al número de columnas (m), matemáticamente se dice que n=m.
Partiendo de esta igualdad, basta con indicar el número de filas (n) que tiene la matriz, debido a que, sabiendo el número de filas (n) también se sabrá el número de columnas (m), dado que n=m. No se puede olvidar que el orden indica el número de filas (n) y columnas (m) que tiene una matriz. En el caso de que digan que una matriz cuadrada es de orden n, querrá decir que esta matriz tiene n filas y n columnas dado que n=m y m=n.
Además de la visión analítica, desde la visión geométrica, una matriz cuadrada también se parecerá a un cuadrado. Por tanto, como regla mnemotécnica para el estudio, se puede distinguir una matriz cuadrada de otros tipos de matrices por presentar visualmente la forma de un cuadrado. Es importante saber que aquellas matrices que visualmente conformen la figura de un rectángulo, no se corresponden a matrices cuadradas.
Matrices triangulares
Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares. Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Cálculo de la matriz triangular
Una matriz triangular puede ser triangular superior o triangular inferior. Se llamará simplemente matriz triangular a una matriz triangular superior o inferior, porque tienen propiedades comunes. Una matriz triangular es una matriz cuadrada la cual tiene triángulos de ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, dependiendo de si es una matriz triangular superior o una matriz triangular inferior. En otras palabras, una matriz triangular es una matriz cuadrada, en la cual se pueden ver claramente triángulos de ceros por encima o por debajo de la diagonal principal.
Más allá de su nombre, la matriz triangular es una matriz cuadrada que puede tener cualquier orden. El término triangular se refiere a la estructura que forman los ceros (0) dentro de la matriz. Si A es triangular (superior o inferior), entonces |A| se puede calcular como el producto de los números de la diagonal principal.
Es importante mencionar que se llama diagonal principal a la diagonal formada por todos los elementos aii. Si una matriz tiene m filas y n columnas, entonces la matriz es de orden m x n. La diagonal principal de una matriz cuadrada es, por tanto, la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha.
Cálculo de la matriz cuadrada no triangular
Sabiendo que para cualquier A se verifica: |A| = |t A|, por lo tanto, se puede afirmar que:
- Si una matriz A tiene una fila o columna formada por ceros, entonces |A| = 0.
- Si a los elementos de una fila o columna de la matriz A se multiplica (o divide) por un número k, entonces su determinante queda multiplicado (o dividido) por k.
- Si en una matriz cuadrada se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas), su determinante cambia de signo.
- Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es nulo.
- Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es nulo.
- Si a los elementos de la fila (o columna) i-ésima de un determinante se descompone en una suma de h sumandos, el determinante es igual a la suma de los h determinantes que se obtienen.
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